Afinní konexe

Christoffelovy koeficienty nesou informaci o změně metrického tenzoru od místa k místu, jsou tedy derivací metrického tenzoru. Pokud hledáme parciální derivaci nějakého vektorového pole, porovnáváme vlastně jeho stav ve dvou blízkých bodech. V křivočarých souřadnicích obecné relativity však toto nelze provést přímo, protože při přesunu k jinému místu se změní i sama báze soustavy a nelze jednoduše porovnat souřadnice dvou vektorů, jsou-li vztaženy k různým bázím. Změnu báze nazýváme afinní konexe. Jelikož tedy nemůžeme použít klasickou parciální derivaci, zavádíme kovariantní derivaci, která bere v úvahu i afinní konexi. Podstata je jednoduchá: každý vektor je součinem svých souřadnic s příslušnou bází. Je-li nekonstantní báze, musíme vektor derivovat jako tento součin a tím uvažovat i "derivaci báze":

Kovariantní derivaci označujeme středníkem (;). A pozor: zde nesčítáme přes index , protože jsme si pouze vektor rozepsali do tvaru součinu souřadnic a báze. Nyní zavedeme

čímž lze výraz (1) přepsat na tvar

To v plochém prostoru přejde v klasickou parciální derivaci (značenou čárkou), protože Christoffelovy koeficienty jsou v něm nulové z důvodu konstantnosti metrického tenzoru.

S pomocí (2) a s odkazem na metrický tenzor je možné odvodit, že

Christoffelovy koeficienty mají v obecné teorii relativity význam sil z Newtonovy fyziky (jedná se o první derivace metrického tenzoru, který představuje potenciál). Mohou představovat gravitační síly nebo tzv. zdánlivé (setrvačné) síly. Gravitační síly jsou způsobeny zakřiveným časoprostorem (tedy nenulovým Riemannovým tenzorem), zatímco zdánlivé síly (setrvačné, odstředivé, atd) nemají příčinu v křivosti časoprostoru: časoprostor může být naprosto plochý (žádné gravitační pole), ale Christoffelovy koeficienty jsou nenulové (protože jsme ve zrychlující vztažné soustavě a pociťujeme setrvačné síly). Christoffelovy koeficienty stojí i v pozadí tzv. paradoxu dvojčat: cestující dvojče během svého obratu pociťuje setrvačnou sílu, čili v jeho souřadné soustavě jsou nenulové Christoffelovy symboly (v jeho souřadné soustavě tedy metrický tenzor není konstantní, i když se manévr neodehrává v žádném gravitačním poli - tedy Riemannův tenzor je nulový). To se projeví na výpočtu vlastního času cestujícího dvojčete. Čekající dvojče žádné setrvačné síly nezaznamená, tedy v jeho soustavě se ani neobjeví nenulové Christoffelovy symboly.

Christoffelovy symboly v každém bodě závisí na zvolené souřadné soustavě. To platí ostatně o jakémkoli tenzoru, ale u tenzorů se změnou souřadné soustavy změní pouze složky tenzoru; nikoli fyzikální význam toho, co tenzor popisuje. U Christoffelova symbolu ovšem nastává něco horšího: v jakémkoli bodě je vždy možné najít souřadnou soustavu, ve které jsou všechny Christoffelovy koeficienty nulové a současně jinou soustavu, kde nulové nejsou. Tak se žádný tenzor nechová: nenulový tenzor je nenulový v jakékoli soustavě. Z tohoto důvodu Christoffelův symbol není tenzor, je to pouze symbol.

Pokud se nacházíme v gravitačním poli, pak taková souřadná soustava bez Christoffelových koeficientů je spojena s tělesem ve volném pádu. Těleso ve volném pádu tedy nepociťuje žádné gravitační ani jiné síly. Naopak soustava, kde jsou Christoffelovy koeficienty nenulové, je spojena s tělesem vzdorujícím volnému pádu (nebo prostě jen stojícím na povrchu Země). Daleko od zdrojů gravitace pak stačí zrychlit a pocítíme setrvačnost (v naší souřadné soustavě se objeví Christoffelovy koeficienty).