Metrický tenzor
Metrický tenzor popisuje geometrii daného prostoru - jeho pomocí můžeme určit délky úseček, velikosti úhlů apod. Je definován vztahem
| gij = ei ej |
kde ei jsou bázové vektory prostoru (které obecně nemusí být konstantní). Je zřejmé, že takový tenzor je symetrický: gij = gji, protože ei.ej = ej.ei. V nejjednodušším případě - plochém časoprostoru - má metrický tenzor tvar
 |
Tento konkrétní tenzor popisuje nezakřivený vesmír, neboli prostředí speciální teorie relativity. Jsou-li nediagonální elementy tenzoru nulové, jako v tomto případě, jedná se o ortogonální bázi. Případné nenulové složky mimo diagonálu tedy představují odchylky od ortogonality. Délku úsečky (časoprostorový interval) určíme vztahem
| ds2 = gμν dxμ dxν |
kde sčítáme přes všechny indexy vyskytující se dvakrát (Einsteinova sumační konvence). Vektor xμ = (x0, x1, x2, x3), přičemž indexem 0 označujeme čas t, indexy 1, 2, 3 pak prostorové souřadnice x, y, z. Tedy pro plochý prostor: ds2 = -c2.dt2 + dx2 + dy2 + dz2. Protože nediagonální elementy jsou všechny nulové, zbyly v součtu pouze druhé mocniny jednotlivých souřadnic (násobené jedničkou nebo -c2). Je zřejmé, že ds2 (kde dvojka tentokrát označuje mocninu, nikoli index!) může vyjít kladné, záporné nebo i nulové, ačkoli všechny vzdálenosti dt, dx, dy, dz jsou kladné. Nulový časoprostorový interval obdržíme, pokud popisujeme pohyb rychlostí světla, kladný při překročení rychlosti světla, záporný pro rychlosti podsvětelné. V "podsvětelném" případě označujeme časoprostorový interval za vlastní čas... V obecném případě křivočarých souřadnic se komponenty metrického tenzoru mohou měnit s polohou: nastává to, pokud popisujeme geometrii časoprostoru z hlediska neinerciální soustavy, nebo pokud je přítomno gravitační pole (časoprostor je zakřiven). Metrický tenzor má význam gravitačního potenciálu.
Zde je příklad vesmíru, který obsahuje jediné kulové těleso v klidu s hmotností M. Je výsledkem tzv. Schwarzschildova řešení Einsteinových rovnic a je provedeno ve sférických souřadnicích t, r, Θ, φ. Je vidět, že složky metrického tenzoru už nejsou konstantní, v každém bodě je tedy jiná geometrie časoprostoru.
 |