Ricciho tenzor

Ricciho tenzor je zúžení Riemannova tenzoru:

Zúžením se ztratí část informací, které byly v původním Riemannově tenzoru. Riemannův tenzor má celkem 256 složek, z čehož díky různým symetriím je 20 složek opravdu nezávislých. Ricciho tenzor má 16 složek, ale z toho je 10 složek nezávislých, podobně jako u metrického tenzoru. Z původních 20 složek tedy zbyde 10. Oněch zbývajících 10 složek, které jsme zúžením ztratili, se dá shrnout do tzv. Weylova tenzoru. Riemannův tenzor lze tedy rozdělit na 2 části:

Kde R_μν je Ricciho tenzor a W_ρσμν je Weylův tenzor. Ricciho tenzor nese informaci o křivosti pocházející z bezprostřední přítomnosti hmoty a energie. V prázdném prostoru je tedy Ricciho tenzor nulový - Ricciho křivost se nešíří vakuem. Weylův tenzor pak nese informaci o křivosti pocházející ze vzdálených zdrojů gravitace. Weylův tenzor tedy umožňuje šíření gravitace prázdným prostorem, včetně gravitačních vln. Především Weylův tenzor popisuje slapové jevy.

Pokud máme v nějaké oblasti kulový oblak prachu, pak Ricciho tenzor způsobuje zmenšování (nebo zvětšování) objemu tohoto oblaku. Weylův tenzor způsobuje deformace tvaru oblaku beze změny jeho objemu: z původní koule vytvoří například elipsoid. Tyto deformace jsou právě oněmi slapovými jevy, jako je například příliv a odliv oceánů na Zemi. Oceán totiž mění tvar.